これは、覆面算（ふくめんざん）と呼ばれる種類の問題です。それぞれの文字 A, B, C は、異なる1桁の数字（0から9）を表しています。
🔢 問題の分析
画像に示された計算は、筆算の足し算です。
$$\begin{array}{@{}c@{}c@{}c} & & \text{C} \\ & \text{B} & \text{C} \\ \text{A} & \text{B} & \text{C} \\ + \quad \text{A} & \text{B} & \text{C} \\ \hline 6 & 6 & 6 \end{array}$$
これは、以下の数式の関係を満たします。
$$(100A + 10B + C) + (100A + 10B + C) + (10B + C) + C = 666$$
✏️ 解き方のステップ
1. 一の位 (C) の決定
一の位の足し算を見てみましょう。
$$\text{C} + \text{C} + \text{C} + \text{C} = \text{C}_1$$
結果の一の位が 6 になっています。つまり、
$$4 \times \text{C} = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 6$$
C は 0 から 9 の数字なので、 $4 \times \text{C}$ は 0 から 36 の間です。
この条件を満たす C は、以下のいずれかです。
-
$4 \times \text{C} = 6 \quad (\text{C} = 1.5 \text{となり不適})$
-
$4 \times \text{C} = 16 \quad (\text{C} = 4)$
-
$4 \times \text{C} = 26 \quad (\text{C} = 6.5 \text{となり不適})$
-
$4 \times \text{C} = 36 \quad (\text{C} = 9)$
ここで、C は 1 桁の整数なので、C = 4 または C = 9 のどちらかになります。
2. 十の位 (B) の決定
十の位の足し算は、一の位からの繰り上がりを含めて、結果が 6 になる必要があります。
$$\text{B} + \text{B} + \text{B} + \text{B} + (\text{一の位からの繰り上がり}) = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 6$$
場合 2-1: C = 4 の場合
$4 \times \text{C} = 4 \times 4 = 16$ なので、一の位からの繰り上がりは 1 です。
式は次のようになります。
$$4 \times \text{B} + 1 = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 6$$
$$4 \times \text{B} = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 5$$
$4 \times \text{B}$ は偶数なので、結果が奇数になることはありえません。
（$4 \times \text{B}$ は 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 のいずれかであり、どれも偶数です。一方、$10 \times (\text{繰り上がり}) + 5$ は必ず奇数です。）
よって、C = 4 は不適です。
場合 2-2: C = 9 の場合
$4 \times \text{C} = 4 \times 9 = 36$ なので、一の位からの繰り上がりは 3 です。
式は次のようになります。
$$4 \times \text{B} + 3 = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 6$$
$$4 \times \text{B} = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 3$$
同様に、$4 \times \text{B}$ は偶数ですが、$10 \times (\text{繰り上がり}) + 3$ は必ず奇数なので、これは不適です。
3. 計算ミス/解釈の確認
ここで、問題の解釈を見直す必要があります。筆算を縦に並んだ数としてではなく、数式の和として正確に捉え直します。
$$\begin{array}{r} \text{C} \\ \text{BC} \\ \text{ABC} \\ +\quad \text{ABC} \\ \hline 666 \end{array}$$
これは、
$$\text{C} + (10\text{B} + \text{C}) + (100\text{A} + 10\text{B} + \text{C}) + (100\text{A} + 10\text{B} + \text{C}) = 666$$
$$200\text{A} + 30\text{B} + 3\text{B} + 4\text{C} = 666$$
$$200\text{A} + 33\text{B} + 4\text{C} = 666$$
A, B, C は 0 から 9 の整数であり、問題文に「異なる」とは書かれていないため、同じ値でも良いとします。また、最上位の桁にある A は 0 ではないと仮定します（つまり $A \neq 0$）。
A の決定
A は 1 から 9 の整数です。
B の決定 (A = 2 の場合)
-
B = 7 のとき: $33(7) + 4\text{C} = 266 \implies 231 + 4\text{C} = 266 \implies 4\text{C} = 35$
-
B = 8 のとき: $33(8) + 4\text{C} = 266 \implies 264 + 4\text{C} = 266 \implies 4\text{C} = 2$
-
A = 3 のとき: $200(3) + 33\text{B} + 4\text{C} = 666 \implies 600 + 33\text{B} + 4\text{C} = 666 \implies 33\text{B} + 4\text{C} = 66$
-
$33\text{B} \le 66$ より $\text{B} \le 2$ です。
-
$\text{B} \le 2$ なので、B は 0, 1, 2 のいずれかです。
B と C の決定 (A = 3 の場合)
-
B = 2 のとき: $33(2) + 4\text{C} = 66 \implies 66 + 4\text{C} = 66 \implies 4\text{C} = 0 \implies \mathbf{C = 0}$
-
B = 1 のとき: $33(1) + 4\text{C} = 66 \implies 33 + 4\text{C} = 66 \implies 4\text{C} = 33$
-
B = 0 のとき: $33(0) + 4\text{C} = 66 \implies 4\text{C} = 66$
-
A = 4 以降: $200\text{A} \ge 800$ となり、合計の 666 を超えてしまうため不適です。
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✅ 最終的な答え
問題の解は、A = 3, B = 2, C = 0 です。
$$\begin{array}{r} & & 0 \\ & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ +\quad 3 & 2 & 0 \\ \hline 6 & 6 & 0 \end{array}$$
計算結果が 666 ではありません。問題の画像と計算式の解釈が異なっていたようです。
💡 画像の筆算の解釈（再挑戦）
画像の下の線の結果は 666 です。私の数式化が間違っていました。
$$\begin{array}{r} & & \text{C} \\ & \text{B} & \text{C} \\ \text{A} & \text{B} & \text{C} \\ +\quad \text{A} & \text{B} & \text{C} \\ \hline 6 & 6 & 6 \end{array}$$
1. 一の位 (C) の決定
$$\text{C} + \text{C} + \text{C} + \text{C} = 4\text{C}$$
結果の一の位が 6 です。
2. 十の位 (B) の決定
$$\text{B} + \text{B} + \text{B} + \text{B} + (\text{繰り上がり}) = 4\text{B} + (\text{繰り上がり})$$
結果の一の位が 6 です。
場合 2-1: C = 4 (繰り上がり 1)
$$4\text{B} + 1 = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 6$$
$$4\text{B} = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 5$$
$4\text{B}$ は偶数ですが、右辺は奇数なので不適です。
場合 2-2: C = 9 (繰り上がり 3)
$$4\text{B} + 3 = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 6$$
$$4\text{B} = 10 \times (\text{繰り上がり}) + 3$$
$4\text{B}$ は偶数ですが、右辺は奇数なので不適です。
3. A の解釈の確認
最上段の C は、100 の位と 10 の位が 0 の数です。
$$\begin{array}{r} 00\text{C} \\ 0\text{BC} \\ \text{ABC} \\ +\quad \text{ABC} \\ \hline 666 \end{array}$$
$$200\text{A} + 20\text{B} + 2\text{B} + 2\text{C} + \text{C} + \text{C} = 666$$
$$200\text{A} + 22\text{B} + 4\text{C} = 666$$
これは、$200\text{A} + 22\text{B} + 4\text{C} = 666$ の式で、A, B, C が 0〜9 の整数（$A \neq 0$）という問題です。
A の決定
-
A = 1 のとき: $200 + 22\text{B} + 4\text{C} = 666 \implies 22\text{B} + 4\text{C} = 466$
-
A = 2 のとき: $400 + 22\text{B} + 4\text{C} = 666 \implies 22\text{B} + 4\text{C} = 266$
-
$4\text{C} \ge 0$ より $22\text{B} \le 266 \implies \text{B} \le 12.09…$
-
$4\text{C} \le 36$ より $22\text{B} \ge 266 – 36 = 230$
-
$22\text{B} \ge 230 \implies \text{B} \ge 10.45…$
-
B は 1 桁の整数なので、矛盾します。
-
A = 3 のとき: $600 + 22\text{B} + 4\text{C} = 666 \implies 22\text{B} + 4\text{C} = 66$
B と C の決定 (A = 3 の場合)
-
B = 3 のとき: $22(3) + 4\text{C} = 66 \implies 66 + 4\text{C} = 66 \implies 4\text{C} = 0 \implies \mathbf{C = 0}$
-
B = 2 のとき: $22(2) + 4\text{C} = 66 \implies 44 + 4\text{C} = 66 \implies 4\text{C} = 22$
-
B = 1 のとき: $22(1) + 4\text{C} = 66 \implies 22 + 4\text{C} = 66 \implies 4\text{C} = 44 \implies \mathbf{C = 11}$
-
B = 0 のとき: $22(0) + 4\text{C} = 66 \implies 4\text{C} = 66$
最終解
A = 3, B = 3, C = 0
検算
$$\begin{array}{r} & & 0 \\ & 3 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ +\quad 3 & 3 & 0 \\ \hline 6 & 6 & 0 \end{array}$$
計算結果が 666 ではありません。
🧐 筆算の「位の解釈」に焦点を当てる
筆算は、数式の和ではなく、位ごとの足し算と繰り上がりで解くべきです。
$$\begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}c} & & & \text{C} \\ & & \text{B} & \text{C} \\ & \text{A} & \text{B} & \text{C} \\ + & \text{A} & \text{B} & \text{C} \\ \hline 6 & 6 & 6 \end{array}$$
1. 一の位の計算
$$\text{C} + \text{C} + \text{C} + \text{C} = 4\text{C}$$
結果の一の位が 6 なので、C = 4 または C = 9。
2. C = 4 の場合
$4\text{C} = 16$。一の位は 6、繰り上がりは $\mathbf{k_1 = 1}$。
十の位の計算
$$\text{B} + \text{B} + \text{B} + \mathbf{k_1} = 3\text{B} + 1$$
結果の一の位が 6 なので、
$$3\text{B} + 1 = 10 \times k_2 + 6 \quad (\text{ただし } k_2 \text{は次の位への繰り上がり})$$
$$3\text{B} = 10 k_2 + 5$$
B は 0〜9 の整数なので $3\text{B}$ は 0〜27 の間です。
-
$k_2 = 0$: $3\text{B} = 5$ ($\text{B}=1.66..$ で不適)
-
$k_2 = 1$: $3\text{B} = 15 \implies \mathbf{B = 5}$
-
$k_2 = 2$: $3\text{B} = 25$ ($\text{B}=8.33..$ で不適)
よって、B = 5、十の位からの繰り上がりは $\mathbf{k_2 = 1}$。
3. 百の位の計算
$$\text{A} + \text{A} + \mathbf{k_2} = 2\text{A} + 1$$
結果が 6 なので、
$$2\text{A} + 1 = 6 \quad (\text{千の位への繰り上がり } k_3 \text{ は 0})$$
$$2\text{A} = 5 \quad (\text{A}=2.5 \text{で不適})$$
C = 4 の場合は解なしです。
4. C = 9 の場合
$4\text{C} = 36$。一の位は 6、繰り上がりは $\mathbf{k_1 = 3}$。
十の位の計算
$$\text{B} + \text{B} + \text{B} + \mathbf{k_1} = 3\text{B} + 3$$
結果の一の位が 6 なので、
$$3\text{B} + 3 = 10 \times k_2 + 6$$
$$3\text{B} = 10 k_2 + 3$$
-
$k_2 = 0$: $3\text{B} = 3 \implies \mathbf{B = 1}$
-
$k_2 = 1$: $3\text{B} = 13$ ($\text{B}=4.33..$ で不適)
-
$k_2 = 2$: $3\text{B} = 23$ ($\text{B}=7.66..$ で不適)
よって、B = 1、十の位からの繰り上がりは $\mathbf{k_2 = 0}$。
5. 百の位の計算
$$\text{A} + \text{A} + \mathbf{k_2} = 2\text{A} + 0$$
結果が 6 なので、
最終的な解
A = 3, B = 1, C = 9
検算
$$\begin{array}{r} & & 9 \\ & 1 & 9 \\ 3 & 1 & 9 \\ +\quad 3 & 1 & 9 \\ \hline 6 & 6 & 6 \end{array}$$
-
一の位: $9 + 9 + 9 + 9 = 36 \implies 6$ を書いて 3 繰り上げ
-
十の位: $1 + 1 + 1 + 3 (\text{繰り上げ}) = 6 \implies 6$ を書いて 0 繰り上げ
-
百の位: $3 + 3 + 0 (\text{繰り上げ}) = 6 \implies 6$ を書く
この解で、結果が 666 になります。
答え 🎯
となります。
