同じ長さの紐で作った図形なのに、なぜ面積が違う?正方形と円を比べながら、等周問題の不思議をやさしく解説!

同じ紐の長さなのに、なぜ面積が変わるの?
では、今日はこれについて解説します。
同じ長さの紐で四角形を作っても、形によって面積が変わるのは、実はとっても面白い数学の性質なんだ。これは「等周問題」っていうテーマにも関係していて、ざっくり言うと…
周りの長さが同じなら、正方形に近い形ほど面積が大きくなる!
たとえば、20cmの紐で作る四角形なら:
- 5×5の正方形 → 面積は 25㎠ 1cm×1cmの正方形が、25個入る。
- 6×4の長方形 → 面積は 24㎠ 1cm×1cmの正方形が、24個しか入らない。
どちらも周囲は 20cmだけど、面積は違うよね。これは、縦と横の長さが均等なほど、内側に広がる面積が最大になるっていう性質によるんだよ。
もっと細長い形(たとえば1×9)にすると、面積はもっと小さくなっちゃって1cm×1cmの正方形が、たったの9個しか入らないらなくなる。だから、正方形が最も効率よく面積を広げられる形ってことなんだ!
今までは、紐の長さが、20㎝の紐を使って四角形の形にしていたけど今度は、円にしたらどうだろうか?
🎈同じ紐の長さなら四角形よりも「円」が最強!
まずは、紐の長さが、20㎝で四角形と長方形で確認してみよう。
🧮数字で見てみよう!
- 5×5の正方形 → 周りは 5+5+5+5 = 20cm、面積は 25㎠
- 6×4の長方形 → 周りは 6+4+6+4 = 20cm、面積は 24㎠
どっちも紐の長さは同じだけど、正方形のほうが広いよね!
🌟同じ紐の長さなら、円がいちばん面積が大きくなる!
これは「等周定理」っていうルールで、周の長さが同じなら、面積が最大になるのは円! って証明されてるんだよ。
これは、円がまんべんなく広がってる形だから、 同じ長さの紐でも、ムダなく内側を囲めるってことなんだ!
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【▲上記の記事からの続き▼】
🧪ちょっと計算してみよう!
紐の長さが20cmのとき:
- 正方形なら → 1辺5cm → 面積は 25㎠
5cm×5cm =25㎠
- 円なら → 周囲20cm → 半径 ≒ 3.18cm → 面積 ≒ 31.8㎠!
πr²=3.14×3.18² ≒ 31.8㎠
ほら、円のほうが広い!🌀
💡 周囲(円周)が20cmの円の半径を求めるには、円周の公式を使うよ!
🧮円周の公式
円周(C)はこうやって計算するんだ:
ここで
- C は円周(今回は20cm)
- r は半径
- πは円周率(約3.14)
🔍半径を求めるには?
式を変形して…
r = C / 2π
つまり、
この半径を使って、円の面積を計算すると約31.8㎠と答えがでるよ~!
🌟答え:円の面積は約 31.8㎠!
🌟まとめると…
同じ長さの紐でも、形がバランスよく整ってるほど、広く囲めるんだ!そしてもっとも広くとれるのが、「円」が最強なんだよ~! これが「等周問題」っていう、でもやっぱり不思議だよね✨



