1+1=2の証明 あなたは理解できますか?

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はい、こんにちはセイコウです。

いつもブログをご覧頂きありがとうございます。

今日は、「1+1=2の証明」をご紹介します。

先日「1+1=2」の算数と数学の考え方の違いについての記事を書きました。

1+1=2の算数と数学の考え方の違い!

そして1+1=2であるのを教えるのが算数で なぜ1に1を足すと2になるのかを考え説明するのが数学なのですと説明しました。

では、数学の考え方でなぜ「1+1=2」になるのか説明できますか!

私は、 1+1=2 は「1つのボールともう1つのボールを合わせると、全部で2つのボールになる」といった理解の仕方でした。

でも数学では、こういう説明ではダメなんですね!

ということで 今回は、1+1=2の証明について調べてみました。

調べてみるとブログYouTubeで説明されていました。

やっぱりネットって便利ですね。知りたいことがすぐわかります(^^)

しかしその「1+1=2」の証明が、私の頭では理解しがたい内容だったんですよね!

これで「1+1=2」ということが、証明されたことになるの?

という感じです。

頭の賢い方なら理解できるのかもしれませんが、どうも私の頭ではスッキリしない証明でした(^^;)

たぶん私のブログを読まれてる読者は、賢い方ばかりでしょうから理解できるかもしれませんが、理解できないようでしたら私のこのブログでの説明が下手なだけですので気にしないで下さい!

説明の流れとして「自然数の定義」を説明して次に「足し算の定義」を説明してから「1+1=2」の証明に入ります。

それでは、さっそく説明に移ります。

「1+1=2」の証明

1+1=2を証明するには、「自然数」と「足し算」を定義する必要があるということです。

自然数の定義

ペアノの公理

自然数を定義するためにペアノの公理を使います。

自然数は次の5条件を満たす。(ペアノの公理)

  1. 自然数 0 が存在する。
  2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する  suc(a) は a + 1 の “意味”
  3. 0 は、いかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
  4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
  5. 0 が、ある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

(5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。)

ペアノの公理に書いてあることわかりますか?

なんか難しい事が、書かれているでしょう。

高校卒の頭でどうにか理解しようと頑張りました!

1.自然数には、0が存在するということです。

中学、高校では、0は自然数に入っていなかったようですが、大学では、0を自然数に入れるようです。

2.任意の自然数 a にはその後者 (successorサクセサー )、sucサック エー(a) が存在する suc(a) は a + 1 の “意味”

これは、1,2,3,4,5、・・・・・・・と続くという事ですね。

そして関数のsucサック エー(a) に何か自然数を入れると次のモノになります。

このsucサックは、後継者のことを successorサクセサー  といいますのでその略です。

suc(a)の関数の働きは、(a)に数を代入すると「a + 1」の働きをします。

例としてsuc(a)に「0」を代入してsuc(0)とすると「0+1」となり suc(0)=1となります。

これを踏まえてsuc(a)を使って1,2,3,・・・・・・・を表現すると下記のようになります。

suc(0)=1,  suc(1)=suc(suc(0))=2,  suc(2)=suc(suc(suc(0)))=3

3.0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。

これは、0の次は、右へと1,2,3,4,5、・・・・・・・と続くけど0の左側には、何もない最小元という事です。

4.異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。

これは、たとえとして「1」の次は、「2」であり 「1」の次にまた「1」がくることは無いという意味です。

5.0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

「5.」は私もよくわからなかったのですが、5番目の公理は、数学的帰納法の原理を言っているという事です。

数学的帰納法とは、例として

  1. nが、1のときに成り立つかの証明(最初の数の場合前者がいないので)
  2. kのときに成り立つと仮定して その隣のk+1で成り立つかを証明する。

それら2つが、証明されたら他のモノも無限に、成り立つことが証明されるということです。

2.のkのときに成り立つと仮定して その隣のk+1で成り立つかを証明する。というのは、1,2,3,4,5,6、7、・・・・とあった場合 例えば「3」のときに成り立つと仮定して「3」で成り立ったら そのとなりの「4」で試して成り立てばその次も成り立つことが証明される。

1.の証明の必要性は、左隣に数がありましたが(0を使わない場合) 1,2,3,4,5,6、・・・・・として一番初めの「1」の前(左側)には、何も無いので「1」のときに成り立つかを証明する必要があります。

これが、数学的帰納法のざっくりとした例の説明です。

ペアノの公理を図で表すとこんな感じです。

ペアノの公理の1から4を図で表すと

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自然数は、一直線になっていると定義

存在しない←0→1→2→3→4→5→6→7→8→9→・・・・・・・

これでやっと「ペアノの公理」の説明が終わりました。

加法の定義

 

次は、足し算の定義です。

加法を次のように定義する

すべての自然数aに対して

a+0=a

aに0を足しても変化を与えない

すべての自然数a bに対して

a+suc(b)=suc(a+b) になっている。

aたす後者bは、aたすbの後者

この式が、足し算を満たしている。

加法の定義

a+0=a 「aに0を足しても変化を与えない」

a+suc(b)=suc(a+b)  「足し算を満た式」

【例】1+suc(2)=suc(1+2)=4

例題の説明として「a+suc(b)=suc(a+b) 」この式に数字aを1、bを2を当てはめると

1+suc(2)=suc(1+2)=4

1+をsuc(2)の中へ入れてsuc(1+2)とするとsuc(3)となり

suc(a) は a + 1 の “意味”なのでsuc(3+1)=4となる。

1+suc(2)=suc(1+2)=4

以上が、足し算 加法の定義になります。

1+1=2の証明

それでは、いよいよ1+1=2の証明です!

「1」と「2」を下記のように定義します。「:」←定義の意味

suc(0):=1  (0の後者は「1」と定義)

suc(suc(0)):=2(0の後者の後者は「2」と定義)

※ペアノの公理でこの定義は成り立ちます。

次に加法の定義において

a+suc(b)=suc(a+b)

aをsuc(0)としてbを0とする。

a=suc(0) ,b=0

上の加法の定義のa+suc(b)=suc(a+b)式に代入する

suc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)

先に説明した a+0=aは、aに0を足しても変化を与えない

ということでsuc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)の

=suc(suc(0)+0)から「+0」を取って

=suc(suc(0)) とします。

suc(0)+suc(0)=suc(suc(0))

はい、この式に最初に定義した「1」と「2」を代入すると

※ suc(0):=1  suc(suc(0)):=2

suc(0)+suc(0)=suc(suc(0))

上記の式に「1」と「2」を代入することで

∴1+1=2となります!

いかがでしたでしょうか?

これで「1+1=2」と証明された事になるようですが、私の頭では、スッキリしませんでした。

まとめ

なぜ私は、「1+1=2」の証明にスッキリしないのかというと加法の定義(足し算の定義)で これが正しいのかもしれないが、なぜ「a+suc(b)=suc(a+b)」の式が用いられ これが足し算を満たす式として使われているのかが、私には理解が及ばず納得がいかないからこの式を用いて「1+1=2」が、証明されたと言われてもスッキリしないんですよね。

あなたは、いかがでしたでしょうか?

「1+1=2」の証明は、ご理解頂けましたか?

それでは、今日の記事は以上となります。

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コメントも頂けると嬉しいです。

それでは、最後まで読んで頂きありがとうございました。

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